Question

【題目】已知拋物線x2=2py（p＞0）的頂點到焦點的距離為1，過點P（0，p）作直線與拋物線交于A（x1 ， y1），
B（x2 ， y2）兩點，其中x1＞x2 ．
（1）若直線AB的斜率為 ，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程；
（2）若 =λ ，是否存在異于點P的點Q，使得對任意λ，都有 ⊥（ ﹣λ ），若存在，求Q點坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得p=2，直線和y軸交于點（0，2），

則直線AB的方程為y﹣2= x，即x﹣2y+4=0，

由 得A，B的坐標分別為（4，4），（﹣2，1），

又由x2=4y，得到y= x2，

∴y′= x，

∴拋物線拋物線在點A處切線的斜率為2，

設圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

則 ，

解得a=﹣1，b= ，r2= ，

∴圓的方程為（x+1）2+（y﹣ ）2= ，

即為x2+y2+2x﹣13x+12=0

（2）解：依題意可設直線AB的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0，

∴x1x2=﹣8，①，

由已知 =λ 得﹣x1=λx2，

若k=0，這時λ=1，要使 ⊥（ ﹣λ ），Q點必在y軸上，

設點Q的坐標是（0，m），從而 =（0，2﹣m），

﹣λ =（x1，y1﹣m）﹣λ（x2，y2﹣m）=（x1﹣λx2，y1﹣m﹣λ（y2﹣m））

∴ （ ﹣λ ）=（2﹣m）[y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）]=0，

∴y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）=0，

即 + ﹣m（1+ ）=0，

即 （x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，將①代入得m=﹣2，

∴存在點Q（0，﹣2）使得 ⊥（ ﹣λ ）

【解析】（1）先求出p的值，再求出直線方程，求出A，B的坐標，根據導數的幾何意義求出切線的斜率，設圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 利用待定系數法解得即可，（2）依題意可設直線AB的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x2=4y，根據未達定理得到x1x2=﹣8，若k=0，這時λ=1，設點Q的坐標是（0，m），利用向量的坐標運算和向量的垂直的條件得到即 （x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，代入計算即可求出m的值．