Question

【題目】已知點在上，以為切點的的切線的斜率為，過外一點（不在軸上）作的切線、，點、為切點，作平行于的切線（切點為），點、分別是與、的交點（如圖）：

（1）用、的縱坐標、表示直線的斜率；

（2）若直線與的交點為，證明是的中點；

（3）設三角形面積為，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如，再由、作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形……，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及所圍成的陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設切線方程為， 代入數據計算得到答案.

（2）設，計算得到，，，計算得到得到答案.

（3）根據（2）知確定的切線三角的面積為，繼續下去可得算式

，計算得到答案.

（1）設切線方程為， .

（2）設，則，所以（為的縱坐標），

設，利用切線方程得即兩式相減得

由前面計算可知，平行于橫軸，可得.

將代入得：，由，所以為的中點.

（3）設由（2）的結論可知

由確定的切線三角的面積為

后一個切線三角形的面積是前一切線三角形面積的由此繼續下去可得算式

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