Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，角A、B、C成等差數列，sinA=

2

2

，邊a的長為

2

．
（ I）求邊b的長；
（II）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）由角A、B、C成等差數列，由等差數列的性質得到2B=A+C，然后利用三角形的內角和定理即可求出B的度數，由sinA，sinB及a的值，利用正弦定理即可求出b的長；
（II）由sinA的值和A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，又根據A+C的度數得到滿足題意的A的度數，根據C=π-（A+B），利用誘導公式及兩角和的正弦函數公式化簡，由特殊角的三角函數值即可求出sinC的值，然后根據三角形的面積公式，由a，b及sinC的值即可求出△ABC的面積

解答：解：（I）∵角A、B、C成等差數列，∴2B=A+C．
∵A+C=π-B，∴3B=π，B=

π

3

．∵sinA=

2

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即

2

2 2

=

b

sin π 3

，解得b=

3

．
（II）∵sinA=

2

2

，A∈（0，π），
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

，
∵A+C=

2π

3

，∴A=

π

4

．
則sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

4

，
所以S△ABC=

1

2

a•b•sinC=

1

2

•

2

•

3

•

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

點評：此題考慮學生掌握等差數列的性質，靈活運用正弦定理及誘導公式化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．