Question

（2013•日照二模）設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{

4

a 2 n -1

}的前n項(xiàng)和為T_n，試證明不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

Answer 1

分析：（I）先將題設(shè)中數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系式，根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；
（II）求出a_n，再求出數(shù)列{

4

a 2 n -1

}的通項(xiàng)，用裂項(xiàng)相消法求出T_n，根據(jù)T_n的單調(diào)性證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，
兩式相減，得

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1=4an，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
當(dāng)n=1時(shí)，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．
所以，數(shù)是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．
設(shè)bn=

4

an2-1

，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)))
∴bn=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
又∵Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+2)(n+1)

＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
綜上所述：不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和及利用定義證明等差數(shù)列．