Question

（12分）在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2
（1）求∠A；
（2）若a＝，求b2＋c2的取值范圍。

Answer 1

（1）
（2）5＜b2＋c2≤6…

①由余弦定理知：cosA＝＝
∴∠A＝…………………………………………………5分
②由正弦定理得：
∴b＝2sinB，c＝2sinC
∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)
＝4－2cos2B－2cos2(－B)
＝4－2cos2B－2cos(－2B)
＝4－2cos2B－2（－cos2B－sin2B）
＝4－cos2B＋sin2B
＝4＋2sin(2B－)
又∵＜∠B＜
∴＜2B－＜
∴1＜2sin(2B－)≤2
∴5＜b2＋c2≤6…………………………………………………12分