Question

已知曲線C：y=x³-3x²，直線l：y=-2x
（1）求曲線C與直線l圍成的區域的面積；
（2）求曲線y=x³-3x²（0≤x≤1）與直線l圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積．

Answer 1

（1）聯立y=x³-3x²與y=-2x得：x=0，1或2．
∴曲線C與直線l有三個交點．
y'=3x²-6x令y′=0得：x=0或x=2
∵當x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，
y′＞0，當x∈（0，2）時，y'＜0，
∴曲線C大致形狀如圖所示．
∴S=∫

1 0

[x3-3x2-(-2x)]dx+∫

2 1

(-2x-x3+3x2)dx=

1

2

（2）由題意，旋轉體的體積V=∫

1 0

π[(-2x)2-(x3-3x2)2]dx=

41

105

π