Question

已知B、C兩點(diǎn)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，且關(guān)于中心O對(duì)稱，焦點(diǎn)F₁和B點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，

BC

•

BF

=0且|

BC

|=2|

BF

|，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．2+

  5

• B．3+

  5

• C．

  2+ 5

• D．

  3+ 5

Answer 1

分析：由B、C兩點(diǎn)關(guān)于中心O對(duì)稱，|

BC

|=2|

BF

|，及

BC

•

BF

=0可判斷△OBF為等腰直角三角形，結(jié)合OF=c，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入構(gòu)造關(guān)于e的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于中心O對(duì)稱，|

BC

|=2|

BF

|，
∴BO=BF
又∵

BC

•

BF

=0
∴BC⊥BF
即△OBF為等腰直角三角形
故B點(diǎn)坐標(biāo)為（

c

2

，

c

2

）
代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1得

c2

4a2

-

c2

4b2

=1
即

c2

4a2

-

c2

4(c2-a2)

=1
即e2-

e2

e2-1

=4
即e⁴-6e²+4=0
解得e²=3+

5

或e²=3-

5

（舍去）
∴e=

3+ 5

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡單性質(zhì)，其中根據(jù)，|

BC

|=2|

BF

|，及

BC

•

BF

=0可判斷△OBF為等腰直角三角形，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵．