Question

已知：二次函數f（x）=ax²+bx+c同時滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數x，f(x)≥

1

4a

-

1

2

恒成立．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）數列{a_n}，{b_n}，若對任意n均存在一個函數g_n（x），使得對任意的非零實數x都滿足g_n（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，（n∈N*），求：數列{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由條件得

a+b+c=0 - b 2a = 3 2

⇒

b=-3a c=-a-b=2a

．由f(x)≥

1

4a

-

1

2

得ax2-3ax+2a-

1

4a

+

1

2

≥0恒成立，由此能求出f（x）的表達式．
（2）f（1）=0，f（2）=0，因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，令x=1得a_n+b_n=1，令x=2得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹，由此能求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由條件得

a+b+c=0 - b 2a = 3 2

⇒

b=-3a c=-a-b=2a

．…（4分）
由f(x)≥

1

4a

-

1

2

得ax2-3ax+2a-

1

4a

+

1

2

≥0恒成立，
∴

a＞0 △=9a2-4a(2a- 1 4a + 1 2 )≤0

，
整理，得

a＞0 (a-1)2≤0

，
解得a=1．…（6分）
∴f（x）=x²-3x+2…（8分）
（2）∵f（1）=0，f（2）=0，
又因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，
令x=1，得a_n+b_n=1，…（10分）
令x=2，得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹…（12分）
∴a_n=2ⁿ⁺¹-1，
b_n=2-2ⁿ⁺¹．…（14分）．

點評：本題考查函數表達式的求法和數列通項公式的計算．解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法的靈活運用．