Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和，
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 則， 由題設(shè)當(dāng)x＞2時(shí)， 由①得， 化簡(jiǎn)得； 當(dāng)x≤2時(shí)，由①得， 化簡(jiǎn)得； 故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分 與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分 （包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1；

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與的 交點(diǎn)都是， 直線AF，BF的斜率分別為， 當(dāng)點(diǎn)P在C1上時(shí)，由②知，④ 當(dāng)點(diǎn)P在C2上時(shí)，由③知|PF|=3+x，⑤ 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3）， （1）當(dāng)k≤時(shí)， 直線l與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)都在C1上， 此時(shí)由④知， 從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣ =， 由得， 則是這個(gè)方程的兩根， 所以* ∣MN∣=， 因?yàn)楫?dāng)， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。 （2）當(dāng)時(shí)， 直線l與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)分別在上， 不妨設(shè)點(diǎn)M在C1上，點(diǎn)C2上， 則④⑤知，， 設(shè)直線AF與橢圓C1的另一交點(diǎn)為E， ， 所以， 而點(diǎn)A，E都在C1上，且， 有（1）知， 若直線l的斜率不存在，則=3， 此時(shí)，； 綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為。