Question

已知{a_n}是各項均為正數的等差數列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數列。又，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數列；
（Ⅱ）如果無窮等比數列{b_n}各項的和S=，求數列{a_n}的首項a₁和公差d。
（注：無窮數列各項的和即當n→∞時數列前項和的極限）

Answer 1

（Ⅰ）證明：設{a_n}中首項為a₁，公差為d，
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數列，
∴2lga₂=lga₁·lga₄，
∴a₂²=a₁·a₄，即(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，
∴d=0或d=a₁，
當d=0時，a_n=a₁，，
∴，∴{b_n}為等比數列；
當d=a₁時，a_n=na₁，，
∴，∴{b_n}為等比數列；
綜上可知{b_n}為等比數列。
（Ⅱ）解：∵無窮等比數列{b_n}各項的和，
∴|q|＜1，
由（Ⅰ）知，q=，d=a₁，，
∴，∴a₁=3，
∴。