Question

對于函數,若存在實數對(),使得等式對定義域中的每一個都成立,則稱函數是“()型函數”.

(1) 判斷函數是否為 “()型函數”，并說明理由；

(2) 若函數是“()型函數”,求出滿足條件的一組實數對；

(3)已知函數是“()型函數”,對應的實數對為(1,4).當 時,,若當時,都有,試求的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 不是“()型函數”，理由詳見解析；(2) （答案不唯一）（3）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由給出的定義可知 展開后的方程中如果不含x說明對任意x都成立，則函數是“()型函數” ，如果展開后的方程含x,則根據方程只能求出某個或某些x滿足要求而不是每一個x都符合，則函數不是“()型函數(Ⅱ)根據定義列出方程 ，滿足方程的實數對應有無數對，只取其中一對就可以。(Ⅲ)難度系數較大，應先根據題意分析出當時, ，此時 。根據已知時,,其對稱軸方程為。屬動軸定區間問題需分類討論，在每類中得出時的值域即的值域，從而得出時的值域，把兩個值域取并集即為的的值域，由可知的值域是的子集，列出關于m的不等式即可求解。

試題解析：【解析】
(1) 不是“()型函數”，因為不存在實數對使得，

即對定義域中的每一個都成立；

(2) 由,得,所以存在實數對,

如,使得對任意的都成立；

(3)由題意得,,所以當時, ,其中,而時,,其對稱軸方程為.

當,即時,在上的值域為,即,則在上 的值域為,由題意得,從而；

當,即時,的值域為,即,則在 上的值域為,則由題意,得

且,解得；

當,即時,的值域為,即,則在上的值域為,即,則,解得.

綜上所述,所求的取值范圍是.

考點：對新概念的理解能力，以及動軸定區間求二次函數的值域問題。