Question

選修4-5：不等式證明選講
已知實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由柯西不等式得(

1

2

+

1

3

+

1

6

)(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2，即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²，將條件代入，我們就可以求出a的取值范圍．

解答：解：由柯西不等式得(

1

2

+

1

3

+

1

6

)(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²…（4分）
將條件代入可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2…（6分）
當且僅當

2 b

1 2

=

3 c

1 3

=

6 d

1 6

時等號成立，
可知b=1，c=

1

3

，d=

1

6

時a_max=2，b=1，c=

2

3

，d=

1

3

時，a_min=1，
所以a的取值范圍是[1，2]．…（10分）

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．