Question

（08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.

                                 

Answer 1

:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz。

則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）

 

（－2，2，2），（2，2，0）

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴  

（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。 （或者直接利用三垂線定理得出結果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x 

即時有最大值為。

（3）（法一）設平面DBF的法向量為，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,  

則 ，

即，

取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 

 面BCF的一個法向量為         

則cos<>=  

由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－  

（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。

由三垂線定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角。           

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝，   

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角，

故二面角D-BF-C的余弦值為－。