Question

如圖，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F為AC的中點．
（I）求點A到平面BCE的距離；
（II）證明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由AB=BC=BD=2，∠CBD=60°，DE=1，知CD=2，CE=BE=，設點A到平面BCE的距離為h，由V_A-BCE=V_C-ABE，得，由此能求出點A到平面BCE的距離．
（II）由AB=BC，F為AC中點，知BF⊥AC，取BC中點G，連EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=，故四邊形FGDE為平行四邊形，EF∥DG，由G為BC中點，BD=CD，知DG⊥BC，由此能夠證明平面ABC⊥平面ACE．
（III）延長AE于BD交于點H，連CH，則CH是平面ACE與面BCD的交線，在△BCH中，由BC=2，BH=4，∠BCD=60°，知BC⊥CH，由AB⊥平面BCD，知AC⊥CH，故∠ACB即為所求的二面角的平面角，由此能求出平面BCD與平面ACE所成二面角的大小．
解答：解：（I）∵AB=BC=BD=2，
∠CBD=60°，DE=1，
∴CD=2，CE=BE=，
∴，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴ABDE是平面圖形，
∵AB⊥平面BCD，
∴BD⊥AB，
∵AB=BD=2，
∴=2，
作CM⊥BD，交BD于M，
∵BC=BD=CD=2，
∴CM=，
∵AB⊥平面BCD，
∴CM⊥AB，
∴CM⊥面ABDE，即CM是棱錐C-ABE的高，
設點A到平面BCE的距離為h，
由V_A-BCE=V_C-ABE，得，
∴．
即點A到平面BCE的距離為．
（II）∵AB=BC，F為AC中點，
∴BF⊥AC，
取BC中點G，連EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=，
故四邊形FGDE為平行四邊形，EF∥DG，
∵G為BC中點，BD=CD，∴DG⊥BC，
∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DG，
∵DG⊥面ABC，∴DG⊥BF，∴EF⊥BF，
∴BF⊥面ACE，
∴平面ABC⊥平面ACE．
（III）延長AE于BD交于點H，連CH，
則CH是平面ACE與面BCD的交線，
在△BCH中，
∵BC=2，BH=4，∠BCD=60°，
∴BC⊥CH，
∵AB⊥平面BCD，
∴AC在平面BCD中的射影為BC，
∴AC⊥CH，
故∠ACB即為所求的二面角的平面角，
在△ABC中，AB⊥BC，且AB=BC，∴∠ACB=45°，
故平面BCD與平面ACE所成二面角為45°．
點評：本題考查點A到平面BCE的距離的求法，證明平面ABC⊥平面ACE，求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小．解題時要認真審題，注意合理地把空間問題等價轉化為平面問題．