Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=lnx+1，
當x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴①0＜t＜t+2＜時，沒有最小值；
②t＜＜t+1，0＜t＜時，f（x）_min=f（）=-；
③≤t＜t+1，即t≥時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
綜上得f（x）_min=；
（2）由已知，2xlnx≥-x²+ax-2，則a≤2lnx+x+，
設(shè)h（x）=2lnx+x+（x＞0），則h′（x）=，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，h（x）單調(diào)遞增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h（x）max=e++1．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）由已知分離參數(shù)，則a≤2lnx+x+，設(shè)h（x）=2lnx+x+（x＞0），因為存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，故有a≤h（x）max，從而可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．