Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點．
（1）如果|AB|=

4 2

3

，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P是AB的中點，可求得|MP|，進而利用射影定理可知|MB|²=|MP|•|MQ|求得|MQ|，進而利用勾股定理在Rt△MOQ中，求得|OQ|則Q點的坐標可得，進而可求得MQ的直線方程．
（2）連接MB，MQ，設(shè)P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，利用斜率相等建立等式，進而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，聯(lián)立消去a，求得x和y的關(guān)系式，根據(jù)圖形可知y＜2，排除x2+(y-

9

4

)2=

1

16

．進而可求得動弦AB的中點P的軌跡方程．

解答：解：（1）由P是AB的中點，|AB|=

4 2

3

，
可得|MP|=

|MA|2-( |AB| 2 )2

=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

．
由射影定理，得|MB|²=|MP|•|MQ|，得|MQ|=3．
在Rt△MOQ中，|OQ|=

|MQ|2-|MO|2

=

32-22

=

5

．
故Q點的坐標為（

5

，0）或（-

5

，0）．
所以直線MQ的方程是2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0．
（2）連接MB，MQ，設(shè)P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，
得

2

-a

=

y-2

x

．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即

x2+(y-2)2

•

a2+4

=1．②
由①及②消去a，可得x2+(y-

7

4

)2=

1

16

和x2+(y-

9

4

)2=

1

16

．
又由圖形可知y＜2，
因此x2+(y-

9

4

)2=

1

16

舍去．
因此所求的軌跡方程為x2+(y-

7

4

)2=

1

16

（y＜2）．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，求軌跡方程問題．解題過程中靈活利用了射影定理．