Question

某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單

位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．

①求a的值；

②若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

 

Answer 1

①a＝2②4元/千克

【解析】①因為x＝5時，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.

②由①知，y＝＋10(x－6)2，

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

當3<x<4時，f′(x)>0；4<x<6時，f′(x)<0.∴f(x)在(3,4)上遞增，(4,6)上遞減．

當x＝4時，f(x)取得最大值，f(4)＝42.

即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得利潤最大．