Question

已知函數f（x）=x³+px²+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且f（x）的一個極值為-4
（1）求p、q的值，并求出f（x）的單調區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）=t有3個不同的實根，求t的取值范圍；
（3）令g（x）=f′（e^x）+x-（t+12）e^x，是否存在實數M，使得t≤M時g（x）是單調遞增函數．若存在，求出M的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數求導公式求函數導數，判斷函數的單調性，畫圖，根據圖表判斷函數的單調性．
（2）根據函數有3個不同的實根，判斷函數極值的正負，函數的圖象應與x軸有三個交點，所以根據函數圖象的大致走向判斷極值，判斷t的取值范圍．．
（3）先求出導數，判斷函數的單調性，再利用恒成立問題求最值，用到均值不等式．

解答：解：（1）設切點（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）
由題意得：方程x²+px+q=0有兩個相等實根a
故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x（2分）f'（x）=3x²-4ax+a²=（x-a）（3x-a）
∵f'（a）=0≠-4，∴f(

a

3

)=-4（3分）
于是

a

3

•(

a

3

-a)2=-4，∴a=-3
∴f（x）=x³+6x²+9x∴p=6，q=9（4分）f'（x）=（x+3）（3x+3）

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-1）	1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是：（-∞，-3），（-1，+∞）
單調遞減區(qū)間是：（-3，-1）（6分）
（2）由（1）知f（x）在x=-3處取得極大值f（-3）=0，在x=-1處取得極小值f（-1）=-4
作f（x）的大致形狀及走向如圖所示：易知當t∈（-4，0）時，f（x）=t有3個不同的實根．（9分）
（3）g（x）=f'（e^x）+x-（t+12）e^x=3e^2x+12e^x+9+x-（t+12）e^x=3e^2x-te^x+x+9g'（x）=6e^2x-te^x+1（11分）
若g（x）在R上遞增，即g'（x）≥0，當x∈R恒成立（12分）
即t≤6ex+

1

ex

（當x∈R時恒成立）（13分）
由于6ex+

1

ex

≥2

6

，當且僅當6ex=

1

ex

，即x=ln

1 6

時取到
∴t≤2

6

（14分）
∴M最大值為2

6

（15分）

點評：該題考查函數的求導，考查利用恒成立問題求最值，屬簡單題．注意解答過程中要有圖表，根據圖表判斷函數的單調性