Question

（08年安徽信息交流）在周長為6的△ABC中，∠A、∠B   、∠C所對的邊分別為，若成等比數列；

（1）求B的取值范圍；

（2）求△ABC的面積S的最大值；

（3） 當△ABC的面積S最大時，過△ABC的重心G作直線交邊AB于M，交邊AC與N，設∠AGM=，試證：。

Answer 1

解析:（1）由題設知：

再由余弦定理得：

當且僅當時取等號，故所求B的取值范圍是               

（2）∵，∴，

∴0＜b，當且僅當時，

∴

∴                                                 

（3）由（1）（2）易知，當△ABC的面積S最大時，△ABC是邊長為2的正△，此時易知∠∠

在△AGM中，由正弦定理得：

則

在△AGN中，同理可得：

           

∴（或用降次公式化簡）