Question

已知一次函數f（x）=ax+b與二次函數g（x）=ax²+bx+c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求證：函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點A，B；
（2）設A₁，B₁是A，B兩點在x軸上的射影，求線段A₁B₁長的取值范圍；
（3）求證：當x≤-

3

時，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

分析：（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判斷判別式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（2））由設 A（x₁，0），B（x₂，0）根據方程根與系數的關系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，結合a+b+c=0，a＞0＞c進行判斷．
（3）要證當x≤-

3

時，f（x）＜g（x）恒成立，即要證ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，構造函數h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，利用二次函數的有關知識即可證得結果．

解答：解：（1）證明：由

y=ax+b y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有兩個不等的根
∴函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
設A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c-b a

=

( c a -2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
對稱軸為x=

a-b

2a

=

2a+c

2a

=1+

c

2a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

]上單調遞增，且h（-

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即當x≤-

3

時，f（x）＜g（x）恒成立．

點評：此題是個中檔題．本題的考點是二次函數的性質，考查綜合利用二次函數相關知識證明問題的能力，本題在解題中技巧性很強，如（1）中消去參數b利于確定判別式的范圍，（2）中靈活運用a＞b＞c且a+b+c=0來確定

c

a

的范圍，此類技巧的運用需要平時經驗的積累，以及數學素養的提高，題后應對這些變形的技巧的變形過程及變形后達到目標進行細致的分析，力爭能把握此類技巧的使用．考查函數與方程 的轉化，方程的根與系數的關系，函數的圖象與x軸相交的線段的長度的求解，知識比較多，是一道綜合性比較好的試題，體現了函數、方程、不等式的相互轉化．