Question

（2013•資陽模擬）設向量

m

=（cosα，1），

n

=（sinα，2），且

m

∥

n

，其中α∈(0，  

π

2

)．
（Ⅰ）求sinα；
（Ⅱ）若sin(α-β)=

3

5

，β∈(0，  

π

2

)，求cosβ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，以及兩向量平行，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用同角三角函數間的基本關系即可求出sinα的值；
（Ⅱ）由α與β的范圍求出α-β的范圍，根據sin（α-β）的值求出cos（α-β）的值，cosβ變形為cos[α-（α-β）]，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（cosα，1），

n

=（sinα，2），且

m

∥

n

，
∴2cosα=sinα，
又sin²α+cos²α=1，
∴sin²α+

1

4

sin²α=1，
∴sin²α=

4

5

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴sinα＞0，
則sinα=

2 5

5

；
（Ⅱ）∵α∈（0，

π

2

），β∈（0，

π

2

），
∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
∵sin（α-β）=

3

5

，
∴cos（α-β）=

4

5

，
∵sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

，
則cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

5

5

×

4

5

+

2 5

5

×

3

5

=

2 5

5

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，平行向量與共線向量，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．