Question

已知F1，F2分別為橢圓C1：＝1(a>b>0)的上下焦點，其中F1是拋物線C2：x2＝4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|＝.

(1)試求橢圓C1的方程；

(2)與圓x2＋(y＋1)2＝1相切的直線l：y＝k(x＋t)(t≠0)交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足，求實數λ的取值范圍．

 

Answer 1

（1）＝1（2）(－2,0)∪(0,2)

【解析】(1)由C2：x2＝4y知F1(0,1)，c＝1，

設M(x0，y0)(x0<0)，

因M在拋物線C2上，

故＝4y0，①

又|MF1|＝，則y0＋1＝②

由①②解得x0＝－，y0＝.

而點M在橢圓上，

∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝＝4.

∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

故橢圓C1的方程為＝1.

(2)因為直線l：y＝k(x＋t)與圓x2＋(y＋1)2＝1相切，

所以＝1⇒k＝(t≠0，k≠0)．

把y＝k(x＋t)代入＝1并整理，得

(4＋3k2)x2＋6k2tx＋3k2t2－12＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有

x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋kt＋kx2＋kt＝k(x1＋x2)＋2kt＝，因為，λ＝(x1＋x2，y1＋y2)

所以，P

又因為點P在橢圓上，

所以，＋＝1⇒λ2＝＝ (t≠0)

因為t2>0，所以＋1>1，

所以0<λ2<4，

當k＝0時，因為直線l與圓x2＋(y＋1)2＝1相切，

則t＝0(舍去)或t＝－1，

當t＝－1時，

y＝－1與橢圓有一個交點，不滿足題意，

舍去．所以λ的取值范圍是(－2,0)∪(0,2)．