Question

如圖所示的樹形圖形．第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135⁰的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；重復前面的作法作圖至第n層．設樹形圖的第n層的最高點到水平線的距離為第n層樹形圖的高度．

（Ⅰ）求第三層及第四層樹形圖的高度H₃，H₄；

（Ⅱ）求第n層樹形圖的高度H_n；

（Ⅲ）若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”，否則稱為“矮小”．顯然，當 時是“矮小”的，是否存在．使得當時，該樹形圖是“高大”的?

Answer 1

解：(Ⅰ)設題中樹形圖（從下而上）新生的各層高度所構成的數列為，

則，

所以，第三層樹形圖的高度．

第四層樹形圖的高度．

（Ⅱ）易知，所以第n層樹形圖的高度為，

所以，當為奇數時，第n層樹形圖的高度為

；

當為偶數時，第n層樹形圖的高度為

．

（Ⅲ）不存在．

由（Ⅱ）知，當為奇數時，

；

當為偶數時，，

由定義，此樹形圖是永遠是“矮小“的．所以不存在．使得當時，該樹形圖是“高大”的．