Question

（2013•婺城區模擬）對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的-個“好區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=x³-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好區間”的函數是

②③④

．  （填入相應函數的序號）

Answer 1

分析：題目給出的是新定義題，定義的“好區間”是指的如果存在一個區間M=[a，b]，使得以該區間為定義域的前提下，函數的值域也是該區間．
①對于函數f（x）=sinx，根據其在[-

π

2

，

π

2

]上是單調增函數，通過分析方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上僅有一解，在定義域其它范圍內無解說明函數沒有“好區間”；
②通過分析函數f（x）=|2^x-1|的圖象，知函數在[0，+∞）上是增函數，在該范圍內取x∈[0，1]時，對應的函數值的范圍也是[0，1]，說明區間[0，1]是函數的一個好區間；
③通過對已知函數求導，分析出函數的單調區間，找到極大值點和極小值點，并求出極大值b和極小值a，而求得的
f（a）與f（b）在[a，b]范圍內，所以[a，b]為該函數的一個“好區間”；
④根據函數在定義域內是單調函數，函數若有“好區間”，則方程f（x）=x應有兩根，利用函數單調性，結合根的存在性定理判斷即可．

解答：解：①函數f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是單調增函數，若函數在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好區間”[a，b]，
則必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有兩個根，令g（x）=sinx-x，g^′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函數g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為減函數，則函數g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一個零點，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有兩個解，又因為f（x）的值域為[-1，1]，所以當x＜-

π

2

或x＞

π

2

時，
方程sinx=x無解．
所以函數f（x）=sinx沒有“好區間”；
②對于函數f（x）=|2^x-1|，該函數在[0，+∞）上是增函數，由冪函數的性質我們易得，M=[0，1]時，
f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]為函數f（x）=|2^x-1|的一個“好區間”；
③對于函數f（x）=x³-3x，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
當x∈（-1，1）時，f^′（x）0．
所以函數f（x）=x³-3x的增區間是（-∞，-1），（1，+∞），減區間是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此時f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函數f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也為[-2，2]，則M=[-2，2]為函數的一個“好區間”；
④函數f（x）=lgx+1在定義域（0，+∞）上為增函數，若有“好區間”
則lga+1=a，lgb+1=b，也就是函數g（x）=lgx-x+1有兩個零點．
顯然x=1是函數的一個零點，
由g′(x)=

1

xln10

-1＜0，得x＞

1

ln10

，函數g（x）在(

1

ln10

，+∞)上為減函數；
g′(x)=

1

xln10

＞0，得x＜

1

ln10

．函數在（0，

1

ln10

）上為增函數．
所以g（x）的最大值為g（

1

ln10

）＞g（1）=0，
則該函數g（x）在（0，

1

ln10

）上還有一個零點．
所以函數f（x）=lgx+1存在“好區間”．
故答案為②③④．

點評：本題是新定義題，考查了函數的定義域與值域的關系，體現了數學轉化思想，此題中單調函數存在好區間的條件是f（x）=x，正確理解“好區間”的定義是解答該題的關鍵，是中檔題．