Question

在平面直角坐標系中，已知圓心在軸上，半徑為的圓位于軸的右側，且與軸相切，
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓的離心率為，且左右焦點為，試探究在圓上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），圓上存在4個點，使得為直角三角形．

解析試題分析：（Ⅰ）求圓的方程，只要求出圓心與半徑即可，而已知圓的半徑為，圓心在軸上，圓位于軸的右側，且與軸相切，故圓心為，從而可得圓的方程；（Ⅱ）探究在圓上是否存在點，使得為直角三角形，首先求出的坐標，而是橢圓的左右焦點，須求出橢圓的方程，由題意橢圓的離心率為，，可求得，，可得，為直角三角形，有圓的方程可知，只需過作軸的垂線，與圓的兩個交點符合題意，過可作圓的兩條切線，與圓的兩個切點也符合，從而找到點．
試題解析：（Ⅰ）依題意，設圓的方程為（x-a）²+y²=16(a>0)． （1分）
∵圓與y軸相切，∴a=4，∴圓的方程為(x-4)²+y²=16  （4分）
（Ⅱ）∵橢圓=1的離心率為，∴e===
解得b²=9            （6分）
∴c==4，∴F₁(-4,0),F₂(4,0)     （7分）
∴F₂(4,0)恰為圓心C        （8分）
（i）過作軸的垂線，交圓P₁,P₂，則∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，符合題意；（10分）
（ii）過F₁可作圓的兩條切線，分別與圓相切于點P₃,P₄，
連接CP₃,CP₄，則∠F₁P₃F₂=∠F₁P₄F₂=90°，符合題意．   （12分）
綜上，圓C上存在4個點P，使得△PF₁F₂為直角三角形．   （13分）
考點：圓的方程，橢圓方程，探索性問題．