Question

多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，其余頂點(diǎn)在α的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面α的距離可能是：①3；②4； ③5；④6；⑤7．以上結(jié)論正確的為

 

．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，一一驗(yàn)證正方體的各個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離即可進(jìn)行判斷，為了求出各個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離，注意應(yīng)用中點(diǎn)的紐帶作用．

解答：解：如圖，B、D、A₁到平面α的距離分別為1、2、4，
則D、A₁的中點(diǎn)到平面α的距離為3，即
A、D₁的中點(diǎn)到平面α的距離為3
所以D₁到平面α的距離為6；同樣地，
B、A₁的中點(diǎn)到平面α的距離為

5

2

，
所以B₁到平面α的距離為5；
則D、B的中點(diǎn)到平面α的距離為

3

2

，
所以C到平面α的距離為3；
C、A₁的中點(diǎn)到平面α的距離為

7

2

，
所以C₁到平面α的距離為7；
而P為C、C₁、B₁、D₁中的一點(diǎn)，
所以選①③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于創(chuàng)新題．