Question

某學(xué)校為調(diào)查高三年學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））．已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數(shù)有16人．

（Ⅰ）試問在抽取的學(xué)生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分兒）的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”？
附：

P（x2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高
女生身高
總計

x2=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n1+n2

（Ⅲ）在上述80名學(xué)生中，從身高在170～175cm之間的學(xué)生中按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當(dāng)旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直方圖中，求出身高在170～175cm的男生的頻率，利用身高在170～175cm的男生人數(shù)有16人，可求男生數(shù)、女生的人數(shù)．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數(shù)=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人數(shù)為0.02×5×40=4，從而可得列聯(lián)表，利用公式，求得K²，與臨界值比較后，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人，按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人． 利用列舉法確定從5人任選3名的所有可能，3人中恰好有一名女生的所有可能，即可求得概率．

解答：解：（Ⅰ）直方圖中，因?yàn)樯砀咴?70～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，
設(shè)男生數(shù)為n₁，則0.4=

16

n1

，得n₁=40．
由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為80-40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數(shù)=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，
女生身高≥170cm的人數(shù)為0.02×5×40=4，
所以可得到下列列聯(lián)表：

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
總計	34	46	80

K2=

80(30×36-10×4)2

40×40×34×46

≈34.57＞6.635，所以能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān)；  
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人，按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人． 
設(shè)男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B．
從5人任選3名有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10種可能，
3人中恰好有一名女生有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6種可能，
故所求概率為

6

10

=

3

5

．

點(diǎn)評：本題考查統(tǒng)計知識，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型，解題的關(guān)鍵是讀懂直方圖，正確計算基本事件的個數(shù)