Question

已知函數f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|的定義域為R，且函數有八個單調區間，則實數m的取值范圍為（ ）
A．
B．或m＞-1
C．
D．或m＞-1

Answer 1

【答案】分析：令g（x）=x²+（3m+5）|x|+1，由題意可知g（x）為偶函數，且其圖象在y軸右側與x軸有二不同的交點，從而可求得實數m的取值范圍．
解答：解：∵函數f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|，
令g（x）=x²+（3m+5）|x|+1，
∵g（-x）=（-x）²+（3m+5）|-x|+1=x²+（3m+5）|x|+1=g（x），
∴g（x）為偶函數，
∵f（x）=|x²+（3m+5）|x|+1|有八個單調區間，
∴g（x）的圖象在y軸右側與x軸有二不同的交點，
∴即，
解得m＜-．
故選C．
點評：本題考查帶絕對值的函數，考查二次函數的性質及應用，明確偶函數g（x）=x²+（3m+5）|x|+1的圖象在y軸右側與x軸有二不同的交點是關鍵，也是難點，考查分析與計算能力，屬于難題．