Question

在100件產品中有98件合格品，2件次品．產品檢驗時，從100件產品中任意抽出3件．
（1）一共有多少種不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

Answer 1

分析：（1）由題意知從100件產品中抽3件，是一個組合問題，即是從100個產品中所出現的3個產品的組合，共有C₁₀₀³種結果
（2）由題意知本題是一個組合問題，抽出的三件產品恰好有一件次品，則包括一件次品和兩件正品，共有C₂¹C₉₈²種結果．
（3）根據題意，“至少有1件次品”可分為“有1件次品”與“有2件次品”兩種情況，由組合數公式分別求得兩種情況下的抽法數，進而相加可得答案．
解法二：“至少有1件次品”的對立事件是“三件都是合格品”，用事件總數減去“三件都是合格品”的種數．

解答：解：（1）由題意知從100件產品中抽3件，是一個組合問題，
即是從100個產品中所出現的3個產品的組合，共有C₁₀₀³=161700
（2）抽出的三件產品恰好有一件次品，則包括一件次品和兩件正品，
共有C₂¹C₉₈²=9506種結果．
（3）解法一：根據題意，“至少有1件次品”可分為“有1件次品”與“有2件次品”兩種情況，
“有1件次品”的抽取方法有C₂¹C₉₈²種，
“有2件次品”的抽取方法有C₂²C₉₈¹種，
則共有C₂¹C₉₈²+C₂²C₉₈¹=9604種不同的抽取方法，
解法二，“至少有1件次品”的對立事件是“三件都是合格品”
“三件都是合格品”的抽取方法有C₉₈³種，
∴抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有C₁₀₀³-C₉₈³=9604
答：（1）一共有161700種不同的抽法
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有9506種結果
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有9604種結果．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是看清題目抽取的產品與順序無關，是一個組合問題，教材中出現過類似的問題，本題是一個中檔題目．