Question

已知函數f(x)=

1

4x-1

-a．
（1）求函數的定義域；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）用單調性定義證明：函數f（x）在（0，+∞）上為減函數．

Answer 1

分析：（1）求函數的定義域即求使函數有意義的自變量的取值范圍，本題中只需分母不為零即可，解不等式即可
（2）已知函數為奇函數，可利用特殊值代入的方法，列方程求出參數值，再檢驗一下充分性即可設
（3）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通過證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可證明函數在（0，+∞）上為減函數，關鍵是將f（x₁）-f（x₂）進行變形，以利于判斷符號，一般變形為因式乘積形式

解答：解：（1）要使函數有意義，需4^x-1≠0，解此不等式得x≠0，∴函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）為奇函數，∴f（-1）=-f（1），即

1

1 4 -1

-a=-

1

4-1

+a，即a=-

1

2

，經檢驗，a=-

1

2

時，f（x）為奇函數
∴a=-

1

2

，
（3）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=(

1

4x1-1

-a)-(

1

4x2-1

-a)=

1

4x1-1

-

1

4x2-1

=

4x2-4x1

(4x1-1)(4x2-1)

=

4x1(4x2-x1-1)

(4x1-1)(4x2-1)

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴4x1＞1，4x2＞1，4x2 -x1＞1
∴

4x1(4x2-x1-1)

(4x1-1)(4x2-1)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）上為減函數

點評：本題考察了函數的定義域的求法，函數奇偶性的應用，函數單調性的定義及證明，要有一定的運算和變形能力