Question

已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當0＜a≠1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，令f′（2）=5求出a的值，切點P（2，f（2））在函數(shù)f（x）和直線y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（Ⅱ）對f′（x）的解析式因式分解后討論可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
由導數(shù)的幾何意義得f'（2）=5，于是a=3．
∴f（x）=x³-2x²+x-b．
由切點P（2，f（2））在直線y=5x-4上，
∴f（2）=5×2-4，即2+b=6，
解得b=4．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³-2x²+x+4；
（Ⅱ）f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，
令f′（x）=0，則x=1或x=

1

a

①當0＜a＜1時，

1

a

＞1，令f′（x）＞0，則x＜1或x＞

1

a

；令f′（x）＜0，則1＜x＜

1

a

，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）及(

1

a

，+∞)上為增函數(shù)，在區(qū)間(1，

1

a

)上為減函數(shù)；       
②當a＞1時，

1

a

＜1，令f′（x）＞0，則x＞1或x＜

1

a

；令f′（x）＜0，則

1

a

＜x＜1，
函數(shù)f（x）在區(qū)間(- ∞，

1

a

)及（1，+∞）上為增函數(shù)，在區(qū)間(

1

a

，1)上為減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．