Question

設函數f(x)=

1

xlnx

（x＞0且x≠1）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）已知2

1

x

＞xa對任意x∈（0，1）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求單調區間既是求函數導數大于或小于0的區間，我們可以用圖表表示使結果直觀．
（Ⅱ）對于未知數在指數上的式子，往往取對數進行解答．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=-

lnx+1

x2ln2x

，若f′（x）=0，則x=

1

e

列表如下

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，1)	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-
f（x）	單調增	極大值f( 1 e )	單調減	單調減

（Ⅱ）在2

1

x

＞xa兩邊取對數，得

1

x

ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

（1）
由（1）的結果可知，當x∈（0，1）時，f(x)≤f(

1

e

)=-e，
為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當且僅當

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2

點評：求解此類問題要有耐心，避免不必要的計算錯誤．