Question

已知{a_n}是等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，記S_n為數列{b_n}的前n項和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整數），求證：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整數），求證：q是整數，且數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項；
（3）是否存在這樣的正數q，使等比數列{b_n}中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由；

Answer 1

設{a_n}的公差為d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）
（1）因為b_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以Sk-1=

a1(1-qk-1)

1-q

=

a1(m-1-(m-1)q)

q

=(m-1)a1
（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，
所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因為i是正整數，所以i-2是整數，即q是整數，設數列{b_n}中任意一項為b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），設數列{a_n}中的某一項a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）
現在只要證明存在正整數m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整數解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=

qn-1-1

q-1

=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，則q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，當i≥3時，因為a₁=b₁，a₂=b₂，只要考慮n≥3的情況，因為b₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整數，所以m是正整數，因此數列{b_n}中任意一項為b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）與數列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2項相等，從而結論成立．
（3）設數列{b_n}中有三項b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差數列，則有
2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，設n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=

1

qx

+qy，令x=1，y=2，則q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因為q≠1，所以q²+q-1=0，所以q=

5 -1

2

(舍去負值)，即存在q=

5 -1

2

使得{b_n}中有三項b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差數列．