Question

（本小題滿分12分）
正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面邊長是，側棱長是3，點E、F分別在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求證：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF與底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

證明：（1）連接，
正四棱柱  
通過，同理可得：    
；
（2）。

試題分析：證明：（1）連接

正四棱柱 ------2分
又 
 -------4分
同理可得：    
--------------------6分
（2） ∽
-------8分
又  底面邊長是，側棱長是3
  --------9分
得  ，
同理    -----------（10分）
又 ， --------------12分
證法二 建立空間直角坐標系（略）
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。