Question

已知函數f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0處取到極小值1．
（Ⅰ）求實數a、b的值及函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若當x∈[-

1

2

，e-1]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0處取到極小值1．則f（0）=1，f'（0）=0，可求實數a、b的值；f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）求出函數的導數f′（x），然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求解；
（Ⅱ）由題意當 x∈[-

1

2

，e-1]時，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實數m的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定義域為（-1，+∞）f′(x)=2x+a-

2

x+1

∵函數f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0處取到極小值1．
∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）
∴f（x）=x²+2x+1-2ln（x+1）
f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=2[(1+x)-

1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＞0⇒x＞0
f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=2[(1+x)-

1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＜0⇒-1＜x＜0，
所以f（x）的單調增區間為（0，+∞）；單調減區間（-1，0）．         …（10分）
（Ⅱ）當x∈[-

1

2

，e-1]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．
令f^′（x）=0⇒（1+x）²=1⇒x=0或x=-2（舍）f(-

1

2

)=

1

4

+2ln2，f（0）=1，f（e-1）=e²-2＞f(-

1

2

)
∴當x∈[-

1

2

，e-1]時，f（x）_max=f（e-1）=e²-2
因此可得：不等式f（x）＜m恒成立時，m＞e²-2…（15分）

點評：本題意函數的極值為載體，主要考查函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力