Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，,．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和，且，都有不等式
成立．

Answer 1

解: （1） 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175533717213.gif" style="vertical-align:middle;" />，
且
∴函數(shù)是奇函數(shù).                                          ………………2分
（2）
………………3分
當(dāng)時(shí)，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立等號(hào)，故在上遞增；
………………4分
當(dāng)時(shí)，，令得或，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為或；         ………………5分
當(dāng)時(shí)，，令得或，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為或．          ………………6分
（3）不妨設(shè),
,
                             ………………7分    
令,則只需證                 ………………8分
先證, 由（2）知在上遞增,
∴當(dāng)時(shí)，                                        
∴，從而由知成立；              ………………10分
再證，即證：，
令，則是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，從而成立.            ………………13分
綜上，對(duì)任意實(shí)數(shù)和，且，都有不等式
成立.     ………………14分

略