Question

已知T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，A₁B₁交半圓于P，Q兩點，建立如圖所示直角坐標系，O為坐標原點．
（Ⅰ）求直線A₁B₁的方程；               
（Ⅱ）求P，Q兩點的坐標；
（Ⅲ）證明：由點P發出的光線PT，經AB反射后，反射光線通過點Q．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，可求得A₁，B₁的坐標，從而可求直線A₁B₁的方程；
（Ⅱ）半圓O的方程為：x²+y²=1（-1≤y≤0）將y=tx-1代入，化簡得：（1+t²）x²-2tx=0，從而可求P，Q的坐標；
（Ⅲ）kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

，從而直線PT，QT的斜率互為相反數，所以直線PT，QT的傾斜角互補，故得證．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，
∴A₁（1，t-1），B₁（-1，-t-1）
∴直線A₁B₁的方程：

y-t+1

-1-t-t+1

=

x-1

-1-1

∴y=tx-1
（Ⅱ）半圓O的方程為：x²+y²=1（-1≤y≤0）
將y=tx-1代入，化簡得：（1+t²）x²-2tx=0
∴x=0或x=

2t

1+t2

當x=0時，y=-1；當x=

2t

1+t2

時，y=

t2-1

1+t2

∴P（0，-1），Q(

2t

1+t2

，

t2-1

1+t2

)
（Ⅲ）證明：∵kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

∴直線PT，QT的斜率互為相反數
∴直線PT，QT的傾斜角互補
∴由點P發出的光線PT，經AB反射后，反射光線通過點Q．

點評：本題以圓為載體，考查直線方程，考查直線與圓的交點問題，同時考查學生分析解決問題的能力，有綜合性．