Question

已知函數．

（Ⅰ）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或

（Ⅱ）①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．

（Ⅲ）見解析

【解析】(I)當時，g(x)=f(x)-k有一個零點，實質是y=f(x)與直線y=k有一個公共點，所以利用導數研究y=f(x)的單調性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.

(II)當a=2時，令,然后利用導數研究其單調區間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關系.

(III)解本小題的關鍵是根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，從而得,問題得解.

解：（Ⅰ）當時，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當或時，，當時，，

函數在、上單調遞增，在上單調遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當時，； 當時，，

當僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分

（Ⅱ）當時，，定義域為．

令，

，     在上是增函數． ………7分

①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．……………9分

（Ⅲ）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，   

． ……………12分

， ．  ……………14分

（法二）當時，．

，，即時命題成立．…………………10分

設當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據（Ⅱ）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．……………13分

因此，由數學歸納法可知不等式成立．……………………14分

（法三）如圖，根據定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分

，

又，，

．

．………………14分