Question

在長方體中，，，為中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得∥平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）先證平面（Ⅱ）（Ⅲ）的長.

試題分析：（Ⅰ）證明：連接∵是長方體，∴平面，又平面 ∴    
在長方形中， ∴     
又∴平面，    
而平面∴      
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

,  
設平面的法向量為，則    令，則  ,
       
所以 與平面所成角的正弦值為                
（Ⅲ）假設在棱上存在一點，使得∥平面.
設的坐標為，則 因為 ∥平面
所以 ，即， ，解得，        
所以 在棱上存在一點，使得∥平面,此時的長. 
點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成的角、三角函數等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.