Question

（09年萊西一中模擬文）（12分）

設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線：相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線（為切點(diǎn)），

證明：直線 必過(guò)定點(diǎn)并指出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

解析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)

依題意得：，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線， 

即曲線的方程是                      ---------------------4分

（Ⅱ）解法一：設(shè)、、，則

由知，， ∴，

又∵切線AQ的方程為：，注意到

切線AQ的方程可化為：，

由在切線AQ上， ∴ 

所以點(diǎn)在直線上；

同理，由切線BQ的方程可得：.

所以點(diǎn)在直線上；

可知，直線AB的方程為：，

即直線AB的方程為：，

∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).     ------------------------12分

 

（Ⅱ）解法二：設(shè)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

由知，，得切線方程：.

即為：，又∵在切線上，

所以可得：，解之得：.

所以切點(diǎn)，

∴.……………………………12分

故直線AB的方程為：

化簡(jiǎn)得：

即直線AB的方程為：

∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).………………………………12分