Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是異面直線AC與A₁D的公垂線，則由正方體的八個頂點所連接的直線中，與EF平行的直線（　　）

A．有且僅有一條

B．有二條

C．有四條

D．不存在

Answer 1

分析：連結BD₁、AD₁，由線面垂直的判定與性質和正方體的性質，證出A₁D⊥BD₁且AC⊥BD₁．根據題意EF是異面直線AC與A₁D的公垂線，得到BD₁∥EF．由于正方體的八個頂點所連接的直線中，除BD₁外的其它直線與BD₁都不平行，所以有且僅有一條直線BD₁與EF平行．

解答：解：連結BD₁、AD₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．
又∵正方形AA₁D₁D中，AD₁⊥A₁D，AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁，
∵BD₁?平面ABD₁，∴A₁D⊥BD₁
同理可得AC⊥BD₁
∵EF是異面直線AC與A₁D的公垂線，即AC⊥EF且A₁D⊥EF，
∴BD₁∥EF．
∵正方體的八個頂點所連接的直線中，除BD₁外的其它直線與BD₁都不平行，
∴有且僅有一條直線BD₁與EF平行．
故選：A

點評：本題給出正方體面對角的公垂線，判斷正方體的八個頂點所連接的直線與此公垂線的位置關系．著重考查了線面垂直的判定與性質、空間直線的位置關系及其判定等知識，屬于中檔題．