Question

（2013•虹口區二模）對于x∈R，不等式|2-x|+|1+x|≥a²-2a恒成立，則實數a的取值范圍是

-1，3

．

Answer 1

分析：由題意可得|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a²-2a，而由絕對值的意義可得|2-x|+|1+x|的最小值為3，可得
3≥a²-2a，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵對于x∈R，不等式|2-x|+|1+x|≥a²-2a恒成立，∴|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a²-2a．
由于|2-x|+|1+x|表示數軸上的x對應點到2和-1對應點的距離之和，它的最小值為3，
故有 3≥a²-2a，即 a²-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，
故實數a的取值范圍是

-1，3

，
故答案為

-1，3

．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式、分式不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．