Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，AB=，O為對角線A₁C的中點．

第19題圖

(1)求點O到AB的距離；

(2)P為AB上一動點，當P在何處時，平面POD上平面A₁CD?并證明你的結論；

(3)當平面POD⊥平面A₁CD時，求二面角P-A₁D-C的大小．

Answer 1

答案：(1)如圖所示，取AC的中點O₁，連接OO₁，則OO₁∥A₁A，∴OO₁⊥平面ABCD，取AB中點E，連接O₁E，則O₁E⊥AB，連接OE，則OE⊥AB，

第19題圖

OO₁=AA₁=，O₁E=AD=

點O到AB的距離為OE=．

(2)當P在AB的中點時，則A₁P=CP=，

∴OP⊥A₁C

又OP⊥AB，DC∥AB，∴OP⊥DC

∴平面POD⊥平面A₁CD．

(3)取A₁D的中點F，連接OF，則OF∥CD

∴OF⊥A₁D，

連接FP，由(2)知OP⊥平面A₁CD

∴∠OFP為二面角P-A₁D-C的平面角

OP=OE=，OF=CD=，∴∠OFP=45°。

∴二面角P-A₁D-C的大小為45°．