Question

閱讀：設Z點的坐標（a，b），r=|

OZ

|，θ是以x軸的非負半軸為始邊、以OZ所在的射線為終邊的角，復數z=a+bi還可以表示為z=r（cosθ+isinθ），這個表達式叫做復數z的三角形式，其中，r叫做復數z的模，當r≠0時，θ叫做復數z的幅角，復數0的幅角是任意的，當0≤θ＜2π時，θ叫做復數z的幅角主值，記作argz．
根據上面所給出的概念，請解決以下問題：
（1）設z=a+bi=r（cosθ+isinθ） （a、b∈R，r≥0），請寫出復數的三角形式與代數形式相互之間的轉換關系式；
（2）設z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁），z₂=r₂（cosθ₂+isinθ₂），探索三角形式下的復數乘法、除法的運算法則，請寫出三角形式下的復數乘法、除法的運算法則．（結論不需要證明）

Answer 1

分析：（1）利用復數三角形式中r 和θ的意義，復數與其在復平面內對應點間的關系得出復數的代數形式與三角形式間的互化公式．
（2）兩個復數相乘的結果等于把兩個復數的模相乘，幅角相加；兩個復數相除的結果等于把兩個復數的模相除，
幅角相減．

解答：解：（1）

a =rcosθ b=rsinθ

；    

r= a2+ b2 tanθ= b a

．
（2）三角形式下的復數乘法的運算法則：
z₁z₂=r₁（cosθ₁+isinθ₁）×r₂（cosθ₂+isinθ₂）=r₁r₂[cos（θ₁+θ₂）+isin（θ₁+θ₂）]．
三角形式下的復數除法的運算法則：

z1

z2

= 

r1(cosθ1+isinθ1)

r2(cosθ2+isinθ2)

=

r1

r2

[cos（θ₁-θ₂）+isin（θ₁-θ₂）]且（z₂≠0）．

點評：本題考查復數的代數形式與三角形式間的互化公式，兩個復數三角形式的乘除法法則．