Question

甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在A、B兩個噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現在只有兩個容量為1千
克的藥瓶，他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A
中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為，B噴霧器中藥水的濃度為．
（1）證明：是一個常數；
（2）求與的關系式；
（3）求的表達式．

Answer 1

(1)18;(2);(3) .

試題分析：(1)利用n次操作后A和B的農藥的和應與開始時農藥的重量和相等建立等量關系，證明是一個常數；(2)借助第一問的結論和第n次后A中10千克的藥水中農藥的重量具有關系式，求解與的關系式；（3）根據第二問的遞推關系，采用構造數列的思想進行求解.
試題解析：（1）開始時，A中含有10=1.2千克的農藥，B中含有10=0.6千克的農藥，，A中含有千克的農藥，B中含有千克的農藥，它們的和應與開始時農藥的重量和相等，從而
（常數）．                    4分
（2）第n次操作后，A中10千克的藥水中農藥的重量具有關系式：由（1）知，代入化簡得  ①           8分
（3）令，利用待定系數法可求出λ=—9，所以，可知數列是以為首項，為公比的等比數列．
由①，,
由等比數列的通項公式知：，
所以．                                            12分