Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx是區間[-1，1]上的減函數．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1對?x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范圍；
（3）討論關于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m的根的個數．

Answer 1

分析：（1）先利用f（x）是實數集R上的奇函數求出a，再利用g（x）=λf（x）+sinx是區間[-1，1]上的減函數求出g（-1）即可．
（2）利用（1）的結論把問題轉化為（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立，再利用圖形找到t滿足的條件即可．
（3）把研究根的個數問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，借助于圖形可得結論．

解答：解：（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函數，則ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）恒成立．
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1.1+ae^-x+ae^x+a²=1，∴a（e^x+e^-x+a）=0，∴a=0．
又∵g（x）在[-1，1]上單調遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，

（2）只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），則

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0

∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0

而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．

（3）由（1）知f（x）=x，∴方程為

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m，
∵f′1(x)=

1-lnx

x2

，
當x∈（0，e）時，f′₁（x）≥0，f₁（x）在x∈（0，e]上為增函數；
x∈[e，+∞）時，f′₁（x）≤0，f₁（x）在x∈[e，+∞）上為減函數，
當x=e時，f1(x)max=f1(e)=

1

e

．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴函數f₁（x）、f₂（x）在同一坐標系的大致圖象如圖所示，
∴①當m-e2＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時，方程無解．
②當m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時，方程有一個根．
③當m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

時，方程有兩個根．

點評：本小題主要考查函數的奇偶性、單調性、最值、導數、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．