Question

如圖：在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△EAD為正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求證：BFAD；
（Ⅱ）求直線BD與平面BCF所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）先證平面EGH從而得到BFAD （Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）設AB的中點為H，連接EH，因為AB=2EF，且EF∥AB，所以四邊形EHBF是平行四邊形，取AD的中點G，正△EAD，則，連接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，所以平面EGH，所以，又因為BF∥EH，所以BFAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）BFAD，在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， BD∥GH ，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以點D在平面BCF上的射影P點在BF上，所以∠FBD就是直線BD與平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F點在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直線BD與平面BCF所成角是．
考點：直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關系．
點評：本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力、推理論證能力．