Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x（lnx﹣2ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（0， ）
C.（0， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f（x）=xlnx﹣2ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣4ax． 令g（x）=lnx+1﹣4ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）= ﹣4a= ，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x= ．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜ ，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞ ，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
只需g（ ）=ln ＞0，解得0＜a＜ ．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0， ）．
故選：C．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．