Question

已知球O的表面積為8π，A，B，C是球面上的三點，點M是AB的中點，AB=2，BC=1，∠ABC=

π

3

，則二面角M=OC-B的大小為

arctan

6

．

Answer 1

分析：首先判斷得出△ACB為RT△，從而 OM⊥面QMC，過B作BE⊥MC，再過B作BF⊥OC，連接EF，則∠BFE為面角M-OC-B的平面角．

解答：解：在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=

π

3

，由余弦定理，得出AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×

1

2

=3，AC=

3

，AC²+CB²=AB²
∴△ACB為RT△，
∵點M是AB的中點，所以M為△ABC的外心，即為過點A，B，C的截面圓圓心，
由球的截面圓性質可得OM⊥面ABC，過B作BE⊥MC，則OM⊥BE，得出BE⊥面OMC，
∴BE⊥OC，
再過B作BF⊥OC，連接EF，則OC⊥面BFE．
∠BFE為面角M-OC-B的平面角．
易知△BMC為正三角形，BE=

3

2

，
S_△OBC=

1

2

BC×h=

1

2

OC×BF而h=

OB2-( BC 2 )2

=

2- 1 4

=

7

2

．
∴BF=

1×  7 2

2

=

14

4

．
由勾股定理EF²=BF²-BE²=

2

4

∴tan∠BFE=

BE

EF

=

3 2

2 4

=

6

．∠BFE=arctan

6

故答案為：arctan

6

點評：本題考查二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．