Question

【選修4-2　矩陣與變換】
設M是把坐標平面上的點P（1，1），Q（2，-1）分別變換成點P₁（2，3），Q₁（4，-3）．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對應的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點在矩陣M^-1的作用下的點的坐標，化簡代入橢圓方程求出新的曲線方程．

解答：解（Ⅰ）由條件得矩陣M=

2    0 0    3

，
它的特征值為2和3，對應的特征向量為

1 0

及

0 1

；
（Ⅱ）M-1=

1 2   0 0     1 3

，
任意選取橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上的一點P（x，y），
它在矩陣 M^-1對應的變換下變為P'（x′，y′），
則有

1 2   0 0     1 3

 

x   y

=

x′   y′

，故 

x=2x′ y=3y′

．
又因為點P在橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上，所以x'²+y'²=1．
∴橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．

點評：此題主要考查矩陣變化以及逆矩陣的求法問題，屬于綜合性的問題，計算比較簡單，但在分析上有一定的難度，屬于中檔題．